ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 0(x)f>′
Μονάδες 7
A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β];
Μονάδες 4
A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0oeA τοπικό μέγιστο;
Μονάδες 4
A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα
β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x
γ) Αν είναι = +∞, τότε f(x)<0 κοντά στο x()xflim0x x→ 0
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
δ) ,
ημ x
(σφx) 12 ′ = xoe−{x|ημx=0}
ε) f(x)g (x)dx [f(x)g(x)] f (x)g(x)dx,
β
α
β
α
β
∫ ′ = α + ∫ ′ όπου f′,g′ είναι
συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους
οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις:
z 1 + z + = 4 2 2 _ 1 (1)
w_5 w = 12 (2)
B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων
των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με
κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1
Μονάδες 6
B2. Αν z1, z2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς
αριθμούς z με z1 z2 = 2
_ τότε, να βρείτε το z z . 1 + 2
Μονάδες 7
B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων
των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη
με εξίσωση 1
4
y
9
x
2 2
+ = και στη συνέχεια να βρείτε τη
μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w
Μονάδες 6
B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις
σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι:
1§ z −w §4
Μονάδες 6
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1)nlx−1, x>0
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ1=(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ2=[1,+∞). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x>0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. ,ex 20131-x=
Μονάδες 6
Γ3. Αν x1, x2 με x1
2012)f(x)(xf00=+′
Μονάδες 6
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=f(x)+1 με x>0, τον άξονακαι την ευθεία x=e xx′
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)→, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:
• f(x) ∫ 0
• exx f(t)dt 21xx 1 2−≥∫+−
• x−x = −nl f(x)edtf(t)tnt x 1 ⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−∫l
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Αν είναι f(x) = e−x(nlx−x), x>0, τότε:
Δ2. Να υπολογίσετε το όριο: ()()()() ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+→xfxf1ημxflim20 x
Μονάδες 5
Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας nlx≤x−1, που ισχύει για κάθε x>0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
() dt, f(t)xFx α∫= x>0,
όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες 2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
F(x) + F(3x) > 2F(2x), για κάθε x>0 (μονάδες 4).
Μονάδες 6
Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξoe(β,2β) τέτοιο ώστε:
F(β) + F(3β) = 2F(ξ)
Μονάδες 4
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες.
5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ.
6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.30 π.μ.
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ
http://www.minedu.gov.gr/publications/docs2012/them_mat_kat_c_hmer_no_1206.pdf
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου